旋转(Rotation)矩阵转欧拉角(euler）

本文档讨论了从旋转矩阵中找所有可能欧拉角的简单技术。在计算机图形学、视觉，机器人和动力学中，有时候欧拉角的确定是必须的一步。然而，它的解可能不是那么的显而易见。 paper: Computing Euler angles from a rotation matrix author：Gregory G. Slabaugh

我们从绕三个主轴旋转的标准定义开始。 绕x轴旋转 ψ \psi ψ弧度可定义为 R x ( ψ ) = [ 1 0 0 0 cos ⁡ ψ − s i n ψ 0 sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ ] R_x(\psi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \psi & -sin \psi \\ 0 & \sin \psi & \cos \psi \end{bmatrix} Rx​(ψ)=⎣⎡​100​0cosψsinψ​0−sinψcosψ​⎦⎤​ 与此类似，绕y轴旋转 θ \theta θ弧度可定义为 R y ( θ ) = [ cos ⁡ θ 0 s i n θ 0 1 0 − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ] R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix} Ry​(θ)=⎣⎡​cosθ0−sinθ​010​sinθ0cosθ​⎦⎤​ 最后，绕z轴旋转 ϕ \phi ϕ弧度可定义为 R z ( ϕ ) = [ cos ⁡ ϕ − sin ⁡ ϕ 0 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 0 0 1 ] R_z(\phi) = \begin{bmatrix} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz​(ϕ)=⎣⎡​cosϕsinϕ0​−sinϕcosϕ0​001​⎦⎤​ 角 ψ , θ , ϕ \psi, \theta, \phi ψ,θ,ϕ是欧拉角。

旋转矩阵一般可以写成 R = [ R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 ] R = \begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{bmatrix} R=⎣⎡​R11​R21​R31​​R12​R22​R32​​R13​R23​R33​​⎦⎤​ 可以将此矩阵考虑为三个旋转序列，每个旋转轴绕一个主轴旋转。由于矩阵乘法不满足交换律，因此绕轴旋转的顺序会影响结果。对于此分析，我们将首先绕x轴旋转，然后绕y轴旋转，最后绕z轴旋转。 这样的旋转序列可以表示为矩阵乘积， R = R z ( ϕ ) R y ( θ ) R x ( ψ ) = [ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sin ⁡ ψ sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ − cos ⁡ ψ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ + sin ⁡ ψ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ + cos ⁡ ψ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ − sin ⁡ ψ cos ⁡ ϕ − sin ⁡ θ sin ⁡ ψ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ cos ⁡ θ ] \begin{alignedat}{2} R = R_z(\phi)R_y(\theta)R_x(\psi) \\ &=\begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi & \sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi & \cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi & \cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi \\ -\sin \theta & \sin \psi \cos \theta & \cos \psi \cos \theta \end{bmatrix} \end{alignedat} R=Rz​(ϕ)Ry​(θ)Rx​(ψ)​=⎣⎡​cosθcosϕcosθsinϕ−sinθ​sinψsinθcosϕ−cosψsinϕsinψsinθsinϕ+cosψcosϕsinψcosθ​cosψsinθcosϕ+sinψsinϕcosψsinθsinϕ−sinψcosϕcosψcosθ​⎦⎤​​ 给定一个旋转矩阵 R R R,我们可以通过将 R R R每个元素与矩阵乘积 R z ( ϕ ) R y ( θ ) R x ( ϕ ) R_z(\phi)R_y(\theta)R_x(\phi) Rz​(ϕ)Ry​(θ)Rx​(ϕ)对应元素相等计算欧拉角 ψ , θ , ϕ \psi, \theta, \phi ψ,θ,ϕ。这将得到九个方程，可用于找到欧拉角。

由 R 31 R_{31} R31​，我们得到 R 31 = − sin ⁡ θ R_{31} = - \sin \theta R31​=−sinθ 对等式求反得到 θ = − a s i n ( R 31 ) (1) \theta = - \mathrm{asin}(R_{31}) \tag{1} θ=−asin(R31​)(1) 然而，对等式(1)解释的时候应该注意到 sin ⁡ ( π − θ ) = sin ⁡ θ \sin (\pi - \theta)=\sin \theta sin(π−θ)=sinθ,因此有两个不同的 θ \theta θ都满足等式(1)（备注：除了 θ = ± π / 2 \theta= \pm \pi /2 θ=±π/2(即 R 31 = ± 1 R_{31}=\pm1 R31​=±1)）。因此 θ \theta θ有两个有效的解。 θ 1 = − a s i n ( R 31 ) θ 2 = π − θ 1 = π + a s i n ( R 31 ) \begin{aligned} \theta_1 &= - \mathrm{asin}(R_{31}) \\ \theta_2 &= \pi - \theta_1 = \pi + \mathrm{asin}(R_{31}) \end{aligned} θ1​θ2​​=−asin(R31​)=π−θ1​=π+asin(R31​)​ 接下来的报告中，我们将单独处理 R 31 = ± 1 R_{31}= \pm 1 R31​=±1的情况。因此，通过利用 R 31 R_{31} R31​元素的值，我们可以确定 θ \theta θ的两个不同的值。

为了找到 ψ \psi ψ的值，我们观察到 R 32 R 33 = tan ⁡ ( ψ ) \frac{R_{32}}{R_{33}} = \tan(\psi) R33​R32​​=tan(ψ) 我们使用该等式解 ψ \psi ψ,有 ψ = a t a n 2 ( R 32 , R 33 ) (2) \psi = \mathrm{atan2}(R_{32}, R_{33}) \tag{2} ψ=atan2(R32​,R33​)(2) 其中 a t a n 2 ( y , x ) \mathrm{atan2}(y, x) atan2(y,x)表示变量 x , y x, y x,y的反正切，它类似于计算y / x的反正切，不同之处在于，两个自变量的符号都用于确定结果的象限，该象限在[-π，π]范围内。函数 a t a n 2 \mathrm{atan2} atan2在很多程序语言中都有实现。 在解释等式（2）时我们注意到，当 cos ⁡ θ > 0 \cos \theta \gt 0 cosθ>0时， ψ = a t a n ( R 32 , R 33 ) \psi = \mathrm{atan(R_{32}, R_{33})} ψ=atan(R32​,R33​)，然而，当 cos ⁡ ψ < 0 \cos \psi \lt 0 cosψ